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sciences:mathematiques:calcul-mental

Différences

Ci-dessous, les différences entre deux révisions de la page.

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sciences:mathematiques:calcul-mental [2016/04/25 19:06] – yoannsciences:mathematiques:calcul-mental [2021/02/01 21:51] (Version actuelle) – modification externe 127.0.0.1
Ligne 2: Ligne 2:
  
 ====== Calcul mental ====== ====== Calcul mental ======
 +
 +"Le calcul mental est celui qui se fait sans le concours de l'écriture. Il est tout a fait différent du calcul écrit. Le premier opère simplement sur les nombres; Le calcul écrit au contraire opère sur les chiffres, sans tenir compte des nombres, excepté pour le résultat final." M Cabois
 +
 +"La résolution répétée des mêmes opérations est postulée conduire à la mémorisation" M Fayol, L'acquisition du nombre.
 +
 +
 +Piliers du calcul mental
 +
 +  - Mémoriser des faits numériques (résultats réflexes) pour diminuer la charge de travail et augmenter la vitesse de calcul. C'est absolument nécessaire car le calcul mental utilise massivement la mémoire immédiate (quelques items sur quelques secondes seulement en mémoire immédiate):
 +    * doubles
 +    * compléments à 10 et à 20
 +    * tables additions,
 +    * tables de multiplication,
 +    * carrés et puissances de 2
 +    * multiples de 25 etc
 +  - Automatisation de procédures (apprendre différents algorithmes): distributivité, décomposition d'un des termes, ajouter 9, multiplier par 11, multiplication japonaise etc
 +  - Prendre en compte des nombres en présence, recombiner astucieusement pour faciliter le calcul.
 +
 +  * Pour mémoriser les faits numériques, travailler quotidiennement (1/2heure au moins) 
 +  * Créer un répertoire d'algorithmes
 +  * S'appuyer sur des aspect ludiques: carré magique, le compte est bon
 +
  
 ===== Techniques de vérification ===== ===== Techniques de vérification =====
Ligne 30: Ligne 52:
 Quand la situation précédente ne se présente pas, le problème peut parfois être modifié. Quand la situation précédente ne se présente pas, le problème peut parfois être modifié.
   * Si un seul chiffre de b est supérieur à son correspondant dans a, diminuer le chiffre de b jusqu'à qu'il soit égal à son correspondant dans a. On calcule a - b puis on retranche la valeur mise de coté au résultat. Par exemple si l'on souhaite calculer 875 - 693 dans b le chiffre des dizaines est plus grand, jusqu' a obtenir le chiffre des dizaines de a: on l'abaisse de 2 dizaines (20), on calcule 875 - 673 = 202, on retire 20 à 202, 202 - 20 = 182. Donc 875 - 693 = 182.   * Si un seul chiffre de b est supérieur à son correspondant dans a, diminuer le chiffre de b jusqu'à qu'il soit égal à son correspondant dans a. On calcule a - b puis on retranche la valeur mise de coté au résultat. Par exemple si l'on souhaite calculer 875 - 693 dans b le chiffre des dizaines est plus grand, jusqu' a obtenir le chiffre des dizaines de a: on l'abaisse de 2 dizaines (20), on calcule 875 - 673 = 202, on retire 20 à 202, 202 - 20 = 182. Donc 875 - 693 = 182.
-  * Si plus d'un chiffre de b est supérieur à a, il peut être plus simple de déterminer combien on doit ajouter au nombre b pour trouver le nombre a. +  * Si plus d'un chiffre de b est supérieur au chiffre respectif dans a, il peut être plus simple de déterminer combien on doit ajouter au nombre b pour obtenir le nombre a. Pour 734 - 567 on pourra ajouter 3 a 567 on obtient alors (570) puis 30 (600) puis 100 (700) puis 34 (734) on obtient 3+30+100+34 = 167 
-  * + 
 +La methode Look-ahead borrow
  
  
  
 ===== Multiplications ===== ===== Multiplications =====
 +
 +===== Multiplier par un petit chiffre =====
 +
 +Lorsqu'on multiplie un nombre avec un petit chiffre on peut facilement faire la multiplication chiffre à chiffre en commençant par la droite.
 +
 +==== Multiplier par 5 ====
 +
 +Revient à diviser par deux puis à multiplier par 10 ou vice versa.
 +
 +==== Multiplier par 9 ====
 +
 +Multiplier par 9 revient à multiplier le nombre par 10 et à retrancher le nombre au résultat. 9 <=> (10 - 1)
 +
 +a * 9 <=> a * (10 - 1) = 10a - a
 +
 +==== Multiplier par un nombre proche de 10 ====
 +
 +Pour la même raison qu'évoquée précédemment, multiplier par 8, 9, 11, ou 12 est simple. On multiplie par 10 puis on ajoute ou on retranche le nombre ou le double du nombre selon le cas.
 +
 +==== Multiplier par 11 ====
 +
 +On ajoute les unités et les dizaines de l'opérande et on place le résultat entre les 2:
 +17 * 11 = 187 ( 1+7=8; 1->8<-7)
 +
 +Si le résultat est un nombre, seules les unités sont insérées. Les dizaines sont ajoutés au dizaines etc
 +38*11 = 418 (3+8=11; 3+1->1<-8)
  
 ==== Multiplier par 25 ==== ==== Multiplier par 25 ====
Ligne 42: Ligne 91:
  
 12*25 <=> 1200 / 4 <=> 600 / 2 = 300 12*25 <=> 1200 / 4 <=> 600 / 2 = 300
 +
 +==== Multiplier des nombres entre 10 et 20 ====
 +
 +Pour l'exemple on prend 17 * 15
 +On place mentalement le plus petit sous le plus grand on obtient
 +
 +<file>
 +17
 +15
 +</file>
 +
 +  * On bascule les unités du plus petit vers le plus grand 5 + 17 = 22
 +  * On multiplie par le résultat par 10 12 * 10 = 220
 +  * On multiplie les unités des nombres initiaux et on ajoute au résultat intermédiaire
 +  * 5*7=35; 220+35 = 255
 +
 +Le résultat 17 * 15 = 255
 +
 +==== Multiplier en utilisant les carrés ====
 +
 +Pour trouver le résultat du produit de petits nombres, on peut utiliser les carrés. Prenons l'exemple de 12 * 16. On remarque que le nombre entre 12 et 16 est 14, on a 12 * 16 = (14 - 2) * (14 + 2). On sait que (a-b)*(a+b)= a<sup>2</sup> - b<sup>2</sup> donc 12 * 16 = 14<sup>2</sup> - 2<sup>2</sup>, 12 * 16 = 196 - 4 = 192 
  
 ==== Simplifier une forme aa * bb ==== ==== Simplifier une forme aa * bb ====
Ligne 47: Ligne 117:
  
  
-====== calculs sur carrés =====+====== Calculs sur carrés =====
  
 Pour élever facilement au carré des nombres **se terminant par 5** comme 65. Pour élever facilement au carré des nombres **se terminant par 5** comme 65.
Ligne 58: Ligne 128:
 De la même manière pour 35<sup>2</sup>: Dans 35 je prends le premier chiffre (3) 3*4=12 donc 35<sup>2</sup>= 1225 De la même manière pour 35<sup>2</sup>: Dans 35 je prends le premier chiffre (3) 3*4=12 donc 35<sup>2</sup>= 1225
  
 +===== Utiliser les identités remarquables =====
 +
 +Pour calculer 99²
 +
 +  * Se rappeler que (a - b)² = a² + b² -2ab
 +  * On peut voir 99² comme (100 - 1)²
 +  * On a donc (100 - 1 )² = 100² + 1² -2*100*1
 +  * Ce qui donne 99² = 10000 -200 + 1
 +  * 99² = 9801 
 +
 +De l'identité remarquable a² - b² = (a+b) (a-b) on peut déduire quand b=1
 +a² - 1² = (a-1)(a+1)
 +En ajoutant 1 des deux coté de l'égalité, elle reste inchangée
 +a² - 1 + 1 = (a-1)(a+1) + 1
 +a² = (a+1)(a-1)+1
 +
 +<note>
 +On peut donc exprimer le carré d'un nombre de cette façon a² = (a+1)(a-1)+1
 +</note>
 +
 +99² = 100*98+1 \\
 +99² = 9800 + 1 \\
 +99² = 9801
 +
 +
 +La méthode des carrés rapides peut également être utilisée pour calculer 99². D’après elle, on sait que le carré de chaque entier correspond à la somme du carré de l’entier qui le précède, de l’entier qui le précède et de l’entier dont nous cherchons la valeur du carré. Mathématiquement parlant nous avons alors: 10²= 9² + 9 +10 = 81 + 19 = 100.
 +
 +
 +En utilisant cette méthode pour calculer 99², on a alors : 99² = 100² - 100 - 99 = 10 000 - 199 = 9 801.
 +
 +
 +===== Pourcentages =====
 +
 +Pour calculer le pourcentage d'un nombre par exemple déterminer les 30% de 500 on divise par 10 les 2 opérandes puis on les multiplie entre eux:
 +
 +<file>
 +  30/10 = 3
 +  500/10 = 50
 +  
 +  3 * 50 = 150
 +</file>
 +
 +===== Divisions =====
 +
 +==== Diviser par 5 ====
 +
 +Diviser un nombre par 5 revient a multiplier par son inverse soit 1/5 ou 2/10. On peut donc obtenir le résultat en multipliant le nombre par 2 puis en le divisant par 10. Ces calculs sont plus simple a faire mentalement.
  
 +<file>
 +128/5 = (128 *2) / 10
 += 256 / 10
 += 25,6
 +</file>
  
 ===== Références ===== ===== Références =====
Ligne 67: Ligne 189:
   * http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Preuve9.htm   * http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Preuve9.htm
   * https://en.wikipedia.org/wiki/Mental_calculation   * https://en.wikipedia.org/wiki/Mental_calculation
 +  * https://fr.wikiversity.org/wiki/Techniques_de_calcul_mental/
 +  * https://prezi.com/mm3db1yfw1nh/enseigner-le-calcul-mental/
 +  * https://www.superprof.fr/blog/les-astuces-pour-progresser-en-calcul-mental/
  
  
sciences/mathematiques/calcul-mental.1461611175.txt.gz · Dernière modification : 2021/02/01 21:51 (modification externe)

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