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Nombre dérivé et fonction dérivée

Nombre dérivé et fonction dérivée

Notes et transcriptions du cours en ligne proposé par l'école Polytechnique (Université Paris-Saclay) sur la plateforme fun-MOOC et intitulé Polytechnique Collection Mathématiques: 1- Dérivation et Étude de fonctions.

Définitions

Taux d'accroissement

Soit une fonction définie sur un intervalle ouvert I à valeurs réelles.

On appelle taux d'accroissement de la fonction entre deux éléments distincts le nombre réel

représente la variation des images, ou variation sur l'axe vertical ;
représente la variation des antécédents, ou variation sur l'axe horizontal .

On peut également le noter

Le taux d'accroissement c'est le quotient de la variation sur l'axe vertical par la variation sur l'axe horizontal. C'est aussi la pente ou le coefficient directeur de la droite passant par les deux points de coordonnées et

Nombre dérivé

On dit que la fonction est “dérivable en a” si son taux d'accroissement entre a et x admet une limite finie quand x tend vers a.

La limite est appelée le nombre dérivé de la fonction f en a et on le note

Autrement dit:

Une interprétation géométrique du nombre dérivé est abordée dans la séquence 4.

Si la fonction est dérivable en tout point de l'intervalle I, on dit que la fonction est dérivable sur I et on désigne par la fonction qui à tout point a de l'intervalle I associe le nombre dérivé de en a.

La fonction est appelée la dérivée de la fonction sur l'intervalle I.

En posant:

, on obtient une autre expression du nombre dérivé:

f prime(a) = lim{h right 0}{{f(a+h)-f(a)} / h }

Exemples

Prenons des exemples de calculs de nombres dérivés.

Exemple 1

Commençons par un cas simple, déterminons le nombre dérivé en 1 de la fonction définie sur par

Le taux d'accroissement entre 1 et x est ${f(x)-f(1)}/{x-1} = {x ^ 2 -1} / {x -1}$

En factorisant le numérateur on obtient

En simplifiant par on on obtient

Lorsque x tend vers 1, on en déduit que tend vers 2 soit:

lim{x right 1} {{f(x)-f(1)} / {x-1}} = 2

La fonction est donc dérivable en 1 et a pour nombre dérivé 2.

Exemple 2

Nous gardons la même fonction , mais nous allons chercher le nombre dérivé au point d’abscisse a, ce qui nous donnera la fonction dérivée de .

${ f(x)-f(a) } / { x-a} = { x^2 - a^2 } / { x-a } = { (x+a) (x-a) } / { x-a } = { x+a }$

On en déduit que quand x tend vers a:

La fonction est donc dérivable sur et à pour dérivée la fonction définie par

Exemple 3

Déterminons le nombre dérivé en 1 de la fonction définie par:

^*

$f prime (1) = lim{x right 1}{{f(x)-f(1)}/{x-1}} = lim{x right 1}{{x^n - 1^n}/{x-1}} = lim{x right 1}{{x^n -1}/{x-1}}$

Pour simplifier l'expression, on cherche à factoriser le numérateur par

$x^n-1 doubleleftright (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+ cdots +x+1)$

$lim{x right 1}{{x^n-1}/{x-1}} = lim{x right 1}{ {(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+ cdots +x+1)}/{x-1}} = lim{x right 1}{x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+ cdots +x+1} = n$