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====== Nombre dérivé et fonction dérivée ======

Notes et transcriptions du cours en ligne proposé par l'école Polytechnique (Université Paris-Saclay) sur la plateforme fun-MOOC et intitulé [[cours:mathematiques:derivation_etude_de_fonctions:000_start|Polytechnique Collection Mathématiques: 1- Dérivation et Étude de fonctions]].




===== Définitions =====


==== Taux d'accroissement ====

Soit <m>f</m> une fonction définie sur un intervalle ouvert I à valeurs réelles.

On appelle **taux d'accroissement** de la fonction <m>f</m> entre deux éléments distincts <m>{a, x} ~ in ~ I</m> le nombre réel

<m>{f(x)-f(a)} / {x-a}</m>


  * <m>f(x)-f(a)</m> représente la variation des images, ou variation sur l'axe vertical <m>Delta y</m>;
  * <m>x-a</m> représente la variation des antécédents, ou variation sur l'axe horizontal <m>Delta x</m>.

On peut également le noter <m>{Delta y} / {Delta x}</m>

Le **taux d'accroissement** c'est le quotient de la variation sur l'axe vertical par la variation sur l'axe horizontal. C'est aussi la pente ou le coefficient directeur de la droite passant par les deux points de coordonnées <m>(a;f(a))</m> et <m>(x; f(x))</m>

{{taux_accroissement_01.png}}

==== Nombre dérivé ====

On dit que la fonction <m>f</m> est "dérivable en a" si son taux d'accroissement entre a et x admet une limite finie quand x tend vers a.

La limite est appelée le **nombre dérivé de la fonction f en a** et on le note <m>f prime(a)</m> 

Autrement dit:

<m>lim{x right a}{{f(x)-f(a)} / {x-a} = f prime(a)}</m>

Une interprétation géométrique du nombre dérivé est abordée dans la séquence 4.

Si la fonction <m>f</m> est dérivable en tout point de l'intervalle I, on dit que la fonction <m>f</m> est dérivable sur I et on désigne par <m>f prime</m> la fonction qui à tout point a de l'intervalle I associe le nombre dérivé de <m>f</m> en a.

La fonction <m>f prime</m> est appelée la dérivée de la fonction <m>f</m> sur l'intervalle I.

En posant:
  * <m>h = x -a </m>, on obtient une autre expression du nombre dérivé:

<m>f prime(a) = lim{h right 0}{{f(a+h)-f(a)} / h }</m>

===== Exemples =====

Prenons des exemples de calculs de nombres dérivés.

==== Exemple 1 ====

Commençons par un cas simple, déterminons le nombre dérivé en 1 de la fonction <m>f</m> définie sur <m>bbR</m> par <m>f(x)=x^2</m>

Le taux d'accroissement entre 1 et x est <m>{f(x)-f(1)}/{x-1} = {x ^ 2 -1} / {x -1}</m>

En factorisant le numérateur on obtient <m>{}={(x+1)(x-1)} / {x-1}</m>

En simplifiant par <m>x-1</m> on on obtient  <m>{}={x+1}</m>

Lorsque x tend vers 1, on en déduit que <m>{f(x)-f(1)} / {x-1}</m> tend vers 2  soit:

<m>lim{x right 1} {{f(x)-f(1)} / {x-1}} = 2</m>

La fonction <m>f</m> est donc dérivable en 1 et a pour nombre dérivé 2.

==== Exemple 2 ====

Nous gardons la même fonction <m>f(x) = x ^ 2</m>, mais nous allons chercher le nombre dérivé au point d’abscisse a, ce qui nous donnera la fonction dérivée de <m>f</m>.

<m>
{ f(x)-f(a) } / { x-a} = { x^2 - a^2 } / { x-a } = { (x+a) (x-a) } / { x-a } =  { x+a }
</m>

On en déduit que quand x tend vers a:

<m>lim{x right a} { { f(x)-f(a) } / { x-a} } = 2a</m>

La fonction <m>f</m> est donc dérivable sur <m>bbR</m> et à pour dérivée la fonction <m>f prime</m> définie par <m>f prime (x) = 2x</m>

==== Exemple 3 ====

Déterminons le nombre dérivé en 1 de la fonction définie par:

<m>f : x right x ^ n, n in bbN</m><sup>*</sup>


<m>f prime (1) = lim{x right 1}{{f(x)-f(1)}/{x-1}} = lim{x right 1}{{x^n - 1^n}/{x-1}} = lim{x right 1}{{x^n -1}/{x-1}}</m>

Pour simplifier l'expression, on cherche à factoriser le numérateur par <m>(x-1)</m>

<m>x^n-1 doubleleftright (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+ cdots +x+1)</m>

<m>lim{x right 1}{{x^n-1}/{x-1}} = lim{x right 1}{ {(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+ cdots +x+1)}/{x-1}} = lim{x right 1}{x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+ cdots +x+1} = n </m>

<m>lim{x right 1}{{x^n-1}/{x-1}} = n</m>

Le nombre dérivé en 1 de la fonction <m>f : x right x^n</m> est égal à n.

===== Dérivée usuelles à connaître =====

  * Si <m>f(x)=x^n</m> alors <m>f prime (x)= n x^{n-1}</m>
  * Si <m>f(x)=1/x</m> pour <m>x in bbR</m><sup>*</sup> alors <m>f prime (x)= -1/{x^2}</m>
  * Si <m>f(x)=sqrt x</m> alors <m>f prime (x)= 1 /{2 sqrt{x} } pour x in bbR</m><sup>*+</sup>
  * Si <m>f(x)= sin(x)</m> alors <m>f prime (x)= cos(x)</m>
  * Si <m>f(x)= cos(x)</m> alors <m>f prime (x)= -sin(x)</m>
  * Si <m>f(x)= e^x</m> alors <m>f prime (x)= e^x</m>
  * Si <m>f(x)= ln(x)</m> alors <m>f prime (x)= 1/x pour x in bbR</m><sup>*+</sup>

==== Généralisation ====

La formule de dérivation de la fonction <m>x right x^n</m> est vraie pour tout n entier négatif (<m>n in bbZ</m>).

La fonction <m>x right 1/x</m> correspondant au cas particulier ou <m>n=-1</m>

Par exemple pour <m>n=-2</m> on a <m>x right x^-2=1/{x^2}</m> et <m>f prime(x)= -2*x^-3 = -2/x^3</m>

La formule est encore vraie pour <m>n in Q</m> c'est à dire <m>n = p/q ~ p in bbZ ~ et ~ q in bbN</m><sup>*</sup>
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