“Le calcul mental est celui qui se fait sans le concours de l'écriture. Il est tout a fait différent du calcul écrit. Le premier opère simplement sur les nombres; Le calcul écrit au contraire opère sur les chiffres, sans tenir compte des nombres, excepté pour le résultat final.” M Cabois

“La résolution répétée des mêmes opérations est postulée conduire à la mémorisation” M Fayol, L'acquisition du nombre.

Piliers du calcul mental

1. Mémoriser des faits numériques (résultats réflexes) pour diminuer la charge de travail et augmenter la vitesse de calcul. C'est absolument nécessaire car le calcul mental utilise massivement la mémoire immédiate (quelques items sur quelques secondes seulement en mémoire immédiate):
   • doubles
   • compléments à 10 et à 20
   • tables additions,
   • tables de multiplication,
   • carrés et puissances de 2
   • multiples de 25 etc
2. Automatisation de procédures (apprendre différents algorithmes): distributivité, décomposition d'un des termes, ajouter 9, multiplier par 11, multiplication japonaise etc
3. Prendre en compte des nombres en présence, recombiner astucieusement pour faciliter le calcul.

• Pour mémoriser les faits numériques, travailler quotidiennement (1/2heure au moins)
• Créer un répertoire d'algorithmes
• S'appuyer sur des aspect ludiques: carré magique, le compte est bon

19 * 57 est approximativement égal a 20 * 60, le résultat sera de l'ordre de 2 * 600 donc environ 1200 (inférieur). 19 * 57 = 1083

En anglais casting out 9 (pour chasser les 9).

Lors qu'on multiplie 2 opérandes, les facteurs sont conservés. Ainsi la proposition 14 x 15 = 221 ne peut être juste car 15 est un multiple de 5, le résultat devra l'être aussi. Comme 14 est un multiple de 2, le résultat devra être pair et multiple de 2 et de 5 donc de 10. Or 221 n'est pas pair ni multiple de 10.

Calculs de différences de la forme a - b

Dans le cas où tous les chiffres de b sont inférieurs ou égaux aux chiffres respectifs de a, le calcul peut être fait directement chiffre à chiffre. Ainsi calculer 872 - 41 revient a soustraire les dizaines entre elles (7 - 4 = 3) et les unités entre elles (2 - 1 = 1). Donc 872 - 41 = 831.

Quand la situation précédente ne se présente pas, le problème peut parfois être modifié.

• Si un seul chiffre de b est supérieur à son correspondant dans a, diminuer le chiffre de b jusqu'à qu'il soit égal à son correspondant dans a. On calcule a - b puis on retranche la valeur mise de coté au résultat. Par exemple si l'on souhaite calculer 875 - 693 dans b le chiffre des dizaines est plus grand, jusqu' a obtenir le chiffre des dizaines de a: on l'abaisse de 2 dizaines (20), on calcule 875 - 673 = 202, on retire 20 à 202, 202 - 20 = 182. Donc 875 - 693 = 182.
• Si plus d'un chiffre de b est supérieur au chiffre respectif dans a, il peut être plus simple de déterminer combien on doit ajouter au nombre b pour obtenir le nombre a. Pour 734 - 567 on pourra ajouter 3 a 567 on obtient alors (570) puis 30 (600) puis 100 (700) puis 34 (734) on obtient 3+30+100+34 = 167

La methode Look-ahead borrow

Lorsqu'on multiplie un nombre avec un petit chiffre on peut facilement faire la multiplication chiffre à chiffre en commençant par la droite.

Revient à diviser par deux puis à multiplier par 10 ou vice versa.

Multiplier par 9 revient à multiplier le nombre par 10 et à retrancher le nombre au résultat. 9 ⇔ (10 - 1)

a * 9 ⇔ a * (10 - 1) = 10a - a

Pour la même raison qu'évoquée précédemment, multiplier par 8, 9, 11, ou 12 est simple. On multiplie par 10 puis on ajoute ou on retranche le nombre ou le double du nombre selon le cas.

On ajoute les unités et les dizaines de l'opérande et on place le résultat entre les 2: 17 * 11 = 187 ( 1+7=8; 1→8←7)

Si le résultat est un nombre, seules les unités sont insérées. Les dizaines sont ajoutés au dizaines etc 38*11 = 418 (3+8=11; 3+1→1←8)

On peut dire que 25 est le quart de 100. On pourra donc multiplier par 100 c'est à dire ajouter deux zéros à notre opérande puis diviser par 4.

12*25 ⇔ 1200 / 4 ⇔ 600 / 2 = 300

Pour l'exemple on prend 17 * 15 On place mentalement le plus petit sous le plus grand on obtient

17
15

• On bascule les unités du plus petit vers le plus grand 5 + 17 = 22
• On multiplie par le résultat par 10 12 * 10 = 220
• On multiplie les unités des nombres initiaux et on ajoute au résultat intermédiaire
• 5*7=35; 220+35 = 255

Le résultat 17 * 15 = 255

Pour trouver le résultat du produit de petits nombres, on peut utiliser les carrés. Prenons l'exemple de 12 * 16. On remarque que le nombre entre 12 et 16 est 14, on a 12 * 16 = (14 - 2) * (14 + 2). On sait que (a-b)*(a+b)= a² - b² donc 12 * 16 = 14² - 2², 12 * 16 = 196 - 4 = 192

Pour élever facilement au carré des nombres se terminant par 5 comme 65.

• On élève le dernier chiffre (5) au carré, ce qui donne 25 on le laisse de coté.
• Dans 65 on va multiplier le premier chiffre (ici 6) par le lui-même + 1. On obtient 6*7 =42.
• Après 42 on reporte le 25 ce qui donne 4225

65*65 = 4225

De la même manière pour 35²: Dans 35 je prends le premier chiffre (3) 3*4=12 donc 35²= 1225

Pour calculer 99²

• Se rappeler que (a - b)² = a² + b² -2ab
• On peut voir 99² comme (100 - 1)²
• On a donc (100 - 1 )² = 100² + 1² -2*100*1
• Ce qui donne 99² = 10000 -200 + 1
• 99² = 9801

De l'identité remarquable a² - b² = (a+b) (a-b) on peut déduire quand b=1 a² - 1² = (a-1)(a+1) En ajoutant 1 des deux coté de l'égalité, elle reste inchangée a² - 1 + 1 = (a-1)(a+1) + 1 a² = (a+1)(a-1)+1

99² = 100*98+1
99² = 9800 + 1
99² = 9801

La méthode des carrés rapides peut également être utilisée pour calculer 99². D’après elle, on sait que le carré de chaque entier correspond à la somme du carré de l’entier qui le précède, de l’entier qui le précède et de l’entier dont nous cherchons la valeur du carré. Mathématiquement parlant nous avons alors: 10²= 9² + 9 +10 = 81 + 19 = 100.

En utilisant cette méthode pour calculer 99², on a alors : 99² = 100² - 100 - 99 = 10 000 - 199 = 9 801.

Pour calculer le pourcentage d'un nombre par exemple déterminer les 30% de 500 on divise par 10 les 2 opérandes puis on les multiplie entre eux:

  30/10 = 3
  500/10 = 50
  
  3 * 50 = 150

Diviser un nombre par 5 revient a multiplier par son inverse soit 1/5 ou 2/10. On peut donc obtenir le résultat en multipliant le nombre par 2 puis en le divisant par 10. Ces calculs sont plus simple a faire mentalement.

128/5 = (128 *2) / 10
= 256 / 10
= 25,6

• https://www.youtube.com/watch?v=0BPqaafJs0s
• https://www.youtube.com/watch?v=Rgw9Ik5ZGaY
• https://en.wikipedia.org/wiki/Mental_calculation
• http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Preuve9.htm
• https://en.wikipedia.org/wiki/Mental_calculation
• https://fr.wikiversity.org/wiki/Techniques_de_calcul_mental/
• https://prezi.com/mm3db1yfw1nh/enseigner-le-calcul-mental/
• https://www.superprof.fr/blog/les-astuces-pour-progresser-en-calcul-mental/