“Le calcul mental est celui qui se fait sans le concours de l'écriture. Il est tout a fait différent du calcul écrit. Le premier opère simplement sur les nombres; Le calcul écrit au contraire opère sur les chiffres, sans tenir compte des nombres, excepté pour le résultat final.” M Cabois
“La résolution répétée des mêmes opérations est postulée conduire à la mémorisation” M Fayol, L'acquisition du nombre.
Piliers du calcul mental
19 * 57 est approximativement égal a 20 * 60, le résultat sera de l'ordre de 2 * 600 donc environ 1200 (inférieur). 19 * 57 = 1083
En anglais casting out 9 (pour chasser les 9).
Lors qu'on multiplie 2 opérandes, les facteurs sont conservés. Ainsi la proposition 14 x 15 = 221 ne peut être juste car 15 est un multiple de 5, le résultat devra l'être aussi. Comme 14 est un multiple de 2, le résultat devra être pair et multiple de 2 et de 5 donc de 10. Or 221 n'est pas pair ni multiple de 10.
Calculs de différences de la forme a - b
Dans le cas où tous les chiffres de b sont inférieurs ou égaux aux chiffres respectifs de a, le calcul peut être fait directement chiffre à chiffre. Ainsi calculer 872 - 41 revient a soustraire les dizaines entre elles (7 - 4 = 3) et les unités entre elles (2 - 1 = 1). Donc 872 - 41 = 831.
Quand la situation précédente ne se présente pas, le problème peut parfois être modifié.
La methode Look-ahead borrow
Lorsqu'on multiplie un nombre avec un petit chiffre on peut facilement faire la multiplication chiffre à chiffre en commençant par la droite.
Revient à diviser par deux puis à multiplier par 10 ou vice versa.
Multiplier par 9 revient à multiplier le nombre par 10 et à retrancher le nombre au résultat. 9 ⇔ (10 - 1)
a * 9 ⇔ a * (10 - 1) = 10a - a
Pour la même raison qu'évoquée précédemment, multiplier par 8, 9, 11, ou 12 est simple. On multiplie par 10 puis on ajoute ou on retranche le nombre ou le double du nombre selon le cas.
On ajoute les unités et les dizaines de l'opérande et on place le résultat entre les 2: 17 * 11 = 187 ( 1+7=8; 1→8←7)
Si le résultat est un nombre, seules les unités sont insérées. Les dizaines sont ajoutés au dizaines etc 38*11 = 418 (3+8=11; 3+1→1←8)
On peut dire que 25 est le quart de 100. On pourra donc multiplier par 100 c'est à dire ajouter deux zéros à notre opérande puis diviser par 4.
12*25 ⇔ 1200 / 4 ⇔ 600 / 2 = 300
Pour l'exemple on prend 17 * 15 On place mentalement le plus petit sous le plus grand on obtient
17 15
Le résultat 17 * 15 = 255
Pour trouver le résultat du produit de petits nombres, on peut utiliser les carrés. Prenons l'exemple de 12 * 16. On remarque que le nombre entre 12 et 16 est 14, on a 12 * 16 = (14 - 2) * (14 + 2). On sait que (a-b)*(a+b)= a2 - b2 donc 12 * 16 = 142 - 22, 12 * 16 = 196 - 4 = 192
Pour élever facilement au carré des nombres se terminant par 5 comme 65.
65*65 = 4225
De la même manière pour 352: Dans 35 je prends le premier chiffre (3) 3*4=12 donc 352= 1225
Pour calculer 99²
De l'identité remarquable a² - b² = (a+b) (a-b) on peut déduire quand b=1 a² - 1² = (a-1)(a+1) En ajoutant 1 des deux coté de l'égalité, elle reste inchangée a² - 1 + 1 = (a-1)(a+1) + 1 a² = (a+1)(a-1)+1
99² = 100*98+1
99² = 9800 + 1
99² = 9801
La méthode des carrés rapides peut également être utilisée pour calculer 99². D’après elle, on sait que le carré de chaque entier correspond à la somme du carré de l’entier qui le précède, de l’entier qui le précède et de l’entier dont nous cherchons la valeur du carré. Mathématiquement parlant nous avons alors: 10²= 9² + 9 +10 = 81 + 19 = 100.
En utilisant cette méthode pour calculer 99², on a alors : 99² = 100² - 100 - 99 = 10 000 - 199 = 9 801.
Pour calculer le pourcentage d'un nombre par exemple déterminer les 30% de 500 on divise par 10 les 2 opérandes puis on les multiplie entre eux:
30/10 = 3 500/10 = 50 3 * 50 = 150
Diviser un nombre par 5 revient a multiplier par son inverse soit 1/5 ou 2/10. On peut donc obtenir le résultat en multipliant le nombre par 2 puis en le divisant par 10. Ces calculs sont plus simple a faire mentalement.
128/5 = (128 *2) / 10 = 256 / 10 = 25,6